KUKA XYZ-ABC Format

KUKA Roboter nutzen das sogenannte XYZ-ABC Format. $XYZ$ ist die Position in Millimetern. $ABC$ sind Winkel in Grad, wobei $A$ um die $z$-Achse rotiert, $B$ rotiert um die $y$-Achse und $C$ rotiert um die $x$-Achse. Die Rotationsreihenfolge ist $z$-$y'$-$x''$ (i.e. $x$-$y$-$z$) und wird berechnet durch $r_z(A) r_y(B) r_x(C)$.

Umrechnung von KUKA-ABC in Quaternionen

Zur Umrechnung von $ABC$ Winkeln in Grad in eine Quaternion $q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})$ werden zuerst alle Winkel in das Bogenmaß umgerechnet mit

$$\begin{split}A_r = A \frac{\pi}{180} \text{,} \\ B_r = B \frac{\pi}{180} \text{,} \\ C_r = C \frac{\pi}{180} \text{,} \\\end{split}$$

und damit die Quaternion berechnet durch

$$\begin{split}x = \cos{(A_r/2)}\cos{(B_r/2)}\sin{(C_r/2)} - \sin{(A_r/2)}\sin{(B_r/2)}\cos{(C_r/2)} \text{,} \\ y = \cos{(A_r/2)}\sin{(B_r/2)}\cos{(C_r/2)} + \sin{(A_r/2)}\cos{(B_r/2)}\sin{(C_r/2)} \text{,} \\ z = \sin{(A_r/2)}\cos{(B_r/2)}\cos{(C_r/2)} - \cos{(A_r/2)}\sin{(B_r/2)}\sin{(C_r/2)} \text{,} \\ w = \cos{(A_r/2)}\cos{(B_r/2)}\cos{(C_r/2)} + \sin{(A_r/2)}\sin{(B_r/2)}\sin{(C_r/2)} \text{.}\end{split}$$

Umrechnung von Quaternionen in KUKA-ABC

Die Umrechnung von einer Quaternion $q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})$ mit $||q||=1$ in $ABC$ Winkel in Grad kann wie folgt durchgeführt werden.

$$\begin{split}A &= \text{atan}_2{(2(wz + xy), 1 - 2(y^2 + z^2))} \frac{180}{\pi} \\ B &= \text{asin}{(2(wy - zx))} \frac{180}{\pi} \\ C &= \text{atan}_2{(2(wx + yz), 1 - 2(x^2 + y^2))} \frac{180}{\pi}\end{split}$$