Anhang

Formate für Posendaten

Eine Pose besteht aus einer Translation und einer Rotation. Die Translation definiert die Verschiebung entlang der \(x\), \(y\) und \(z\)-Achsen. Die Rotation kann auf viele verschiedene Arten definiert werden. Der rc_visard benutzt Quaternionen, um Rotationen zu definieren, und Translationen werden in Metern angegeben. Dies wird als XYZ+Quaternion Format bezeichnet. Dieses Kapitel erklärt Umrechnungen zwischen verschiedenen üblichen Posenformaten und dem XYZ+Quaternion Format.

Es ist weit verbreitet, Rotationen in 3D durch drei Winkel als Drehungen um die Koordinatenachsen zu definieren. Leider existieren hierfür viele verschiedene Möglichkeiten. Übliche Konventionen sind Euler- oder Kardanwinkel (letztere werden auch als Tait-Bryan Winkel bezeichnet). In beiden Konventionen können die drei Rotationen auf die bereits gedrehten Achsen (intrinsische Rotation) oder auf die Achsen des festen Koordinatensystems (extrinsische Rotation) angewendet werden.

Wir benutzen \(x\), \(y\) und \(z\) zur Bezeichnung der drei Koordinatenachsen. \(x'\), \(y'\) und \(z'\) bezeichnen die Achsen, die einmal rotiert wurden. \(x''\), \(y''\) und \(z''\) bezeichnen die Achsen nach zwei Rotationen.

In der ursprünglichen Eulerwinkelkonvention ist die erste und dritte Drehachse immer identisch. Die Rotationsreihenfolge \(z\)-\(x'\)-\(z''\) bedeutet z.B. eine Drehung um die \(z\)-Achse, dann eine Drehung um die gedrehte \(x\)-Achse und schließlich eine Drehung um die (zweimal) gedrehte \(z\)-Achse. In der Kardanwinkelkonvention sind alle drei Drehachsen unterschiedlich, z.B. \(z\)-\(y'\)-\(x''\). Kardanwinkel werden häufig ebenfalls als Eulerwinkel bezeichnet.

Für jede intrinsische Rotationsreihenfolge gibt es eine äquivalente extrinsische Rotationsreihenfolge, die genau umgekehrt ist. Die intrinsische Rotationsreihenfolge \(z\)-\(y'\)-\(x''\) ist zum Beispiel äquivalent zu der extrinsischen Rotationsreihenfolge \(x\)-\(y\)-\(z\).

Rotationen um die \(x\), \(y\) und \(z\)-Achse können mit Quaternionen definiert werden als

\[\begin{split}\begin{align*} r_x(\alpha) &= \left(\begin{array}{c}\sin\frac{\alpha}{2} \\ 0 \\ 0 \\ \cos\frac{\alpha}{2}\end{array}\right)\text{,} & r_y(\beta) &= \left(\begin{array}{c}0 \\ \sin\frac{\beta}{2} \\ 0 \\ \cos\frac{\beta}{2}\end{array}\right)\text{,} & r_z(\gamma) &= \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \sin\frac{\gamma}{2} \\ \cos\frac{\gamma}{2}\end{array}\right)\text{,} \end{align*}\end{split}\]

oder durch Rotationsmatrizen als

\[\begin{split}r_x(\alpha) &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right)\text{,} \\ r_y(\beta) &= \left(\begin{array}{ccc} \cos\beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{array}\right)\text{,} \\ r_z(\gamma) &= \left(\begin{array}{ccc} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\text{.}\end{split}\]

Die extrinsische Rotationsreihenfolge \(x\)-\(y\)-\(z\) kann durch die Multiplikation einzelner Rotationen in umgekehrter Reihenfolge berechnet werden, d.h. \(r_z(\gamma) r_y(\beta) r_x(\alpha)\).

Basierend auf diesen Definitionen beschreiben die folgenden Abschnitte die Umrechnung zwischen üblichen Konventionen und dem XYZ+Quaternion Format.

Bemerkung

Zu beachten sind stets die Einheiten für Positionen und Orientierungen. rc_visard Geräte benutzen stets Meter als Längeneinheit, während die meisten Roboterhersteller Längen in Millimeter oder Inch angeben. Winkel werden üblicherweise in Grad angegeben, können aber auch im Bogenmaß angegeben sein.