Kawasaki XYZ-OAT Format

Das Posenformat, welches von Kawasaki Robotern benutzt wird, besteht aus einer Position \(XYZ\) in Millimetern und einer Orientierung \(OAT\), welche durch drei Winkel in Grad angegeben wird. \(O\) rotiert um die \(z\)-Achse, \(A\) rotiert um die gedrehte \(y\)-Achse und \(T\) rotiert um die gedrehte \(z\)-Achse. Die Rotationsreihenfolge ist \(z\)-\(y'\)-\(z''\) (d.h. \(z\)-\(y\)-\(z\)) und wird berechnet durch \(r_z(O) r_y(A) r_z(T)\).

Umrechnung von Kawasaki-OAT in Quaternionen

Zur Umrechnung von \(OAT\) Winkeln in Grad in eine Quaternion \(q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})^T\) werden zunächst alle Winkel in das Bogenmaß umgerechnet durch

\[\begin{split}O_r = O \frac{\pi}{180} \text{,} \\ A_r = A \frac{\pi}{180} \text{,} \\ T_r = T \frac{\pi}{180} \text{,} \\\end{split}\]

und damit wird die Quaternion berechnet durch

\[\begin{split}x = \cos{(O_r/2)}\sin{(A_r/2)}\sin{(T_r/2)} - \sin{(O_r/2)}\sin{(A_r/2)}\cos{(T_r/2)} \text{,} \\ y = \cos{(O_r/2)}\sin{(A_r/2)}\cos{(T_r/2)} + \sin{(O_r/2)}\sin{(A_r/2)}\sin{(T_r/2)} \text{,} \\ z = \sin{(O_r/2)}\cos{(A_r/2)}\cos{(T_r/2)} + \cos{(O_r/2)}\cos{(A_r/2)}\sin{(T_r/2)} \text{,} \\ w = \cos{(O_r/2)}\cos{(A_r/2)}\cos{(T_r/2)} - \sin{(O_r/2)}\cos{(A_r/2)}\sin{(T_r/2)} \text{.}\end{split}\]

Umrechnung von Quaternionen in Kawasaki-OAT

Die Umrechnung von einer Quaternion \(q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})^T\) mit \(||q||=1\) in \(OAT\) Winkel in Grad kann wie folgt durchgeführt werden.

\[\begin{split}O &= \text{atan}_2{(2(yz - wx), 2(xz + wy))} \frac{180}{\pi} \\ A &= \text{acos}{(w^2 - x^2 - y^2 + z^2)} \frac{180}{\pi} \\ T &= \text{atan}_2{(2(yz + wx), -2(xz - wy))} \frac{180}{\pi}\end{split}\]